У этого термина существуют и другие значения, см. Матрица. Ма́трица — математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов кольца или поля (например, целых или комплексных чисел), которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы. Количество строк и столбцов матрицы задают размер матрицы. Хотя исторически рассматривались, например, треугольные матрицы, в настоящее время говорят исключительно о матрицах прямоугольной формы, так как они являются наиболее удобными и общими. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае, количество строк матрицы соответствует числу уравнений, а количество столбцов — количеству неизвестных. В результате, решение систем линейных уравнений сводится к операциям над матрицами. Матрицы допускают следующие алгебраические операции: сложение матриц, имеющих один и тот же размер; умножение матриц подходящего размера (матрицу, имеющую n столбцов, можно умножить справа на матрицу, имеющую n строк); умножение матрицы на элемент основного кольца или поля (т. н. скаляр). Относительно сложения матрицы образуют абелеву группу; если же рассматривать ещё и умножение на скаляр, то матрицы образуют модуль над соответствующим кольцом (векторное пространство над полем). Множество квадратных матриц замкнуто относительно матричного умножения, поэтому квадратные матрицы одного размера образуют ассоциативное кольцо с единицей относительно матричного сложения и матричного умножения. Матрица представляет собой матрицу некоторого линейного оператора: свойства матрицы соответствуют свойствам линейного оператора. В частности, собственные числа матрицы — это собственные числа оператора, отвечающие соответствующим собственным векторам. В математике рассматривается множество различных типов и видов матриц. Таковы, например, единичная, симметричная, кососимметричная, верхнетреугольная (нижнетреугольная) и т. п. матрицы. Особое значение в теории матриц занимают всевозможные нормальные формы, то есть канонический вид, к которому можно привести матрицу заменой координат. Наиболее важной (в теоретическом значении) и проработанной является теория жордановых нормальных форм. На практике, однако, используются такие нормальные формы, которые обладают дополнительными свойствами, например, устойчивостью. Содержание 1 История 2 Определение 3 Обозначения 3.1 Транспонированная матрица 3.2 Вектор-строка и вектор-столбец 3.3 Операции над матрицами 4 Связанные понятия 4.1 Линейные комбинации 4.2 Линейная зависимость 4.3 Ранг матрицы 5 Свойства 5.1 Матричные операции 6 Примеры 7 Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений 8 Квадратная матрица и смежные определения 9 Элементарные преобразования матриц 10 Матрица линейного оператора 11 См. также 12 Примечания 13 Литература править История Впервые матрицы упоминались ещё в древнем Китае, называясь тогда «волшебным квадратом». Основным применением матриц было решение линейных уравнений. Так же, волшебные квадраты были известны чуть позднее у арабских математиков, примерно тогда появился принцип сложения матриц. После развития теории определителей в конце 17-го века, Габриэль Крамер начал разрабатывать свою теорию в 18-ом столетии и опубликовал «правило Крамера» в 1751 году. Примерно в этом же промежутке времени появился «метод Гаусса». Теория матриц начала своё существование в середине XIX века в работах Уильяма Гамильтона и Артура Кэли. Фундаментальные результаты в теории матриц принадлежат Вейерштрассу, Жордану, Фробениусу. Термин «матрица» ввел Джеймс Сильвестр в 1850 г.[1] править Определение Пусть и , где , — два конечных множества. Назовём матрицей размера (читается m на n) с элементами из некоторого кольца или поля отображение вида . Если индекс i пробегает множество M, а j пробегает множество N, то элемент A(i,j) оказывается элементом матрицы, находящемся на пересечении i-той строки и j-ого столбца: i-ая строка матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где j пробегает всё множество N; j-ый столбец матрицы состоит из элементов вида A(i,j), где i пробегает всё множество M. Таким образом, матрица размера состоит в точности из m строк (по n элементов в каждом) и n столбцов (по m элементов в каждом). В соответствии с этим каждую строку матрицы можно интерпретировать как вектор в n-мерном координатном пространстве ; каждый столбец матрицы — как вектор в m-мерном координатном пространстве . Сама матрица естественным образом интерпретируется как вектор в пространстве имеющим размерность mn. Это позволяет ввести покомпонентное сложение матриц и умножение матрицы на число (см. ниже); то что касается матричного умножения, то оно существенным образом опирается на прямоугольную структуру матрицы. Если у матрицы количество строк m совпадает с количеством столбцов n, то такая матрица называется квадратной, а число m = n называется размером квадратной матрицы или её порядком. править Обозначения Обычно матрицу обозначают заглавной буквой латинского алфавита: пусть , тогда A — матрица, которая интерпретируется как прямоугольный массив элементов поля вида aij = A(i,j), где первый индекс означает индекс строки: ; второй индекс означает индекс столбца: ; таким образом, aij — элемент матрицы A, находящийся на пересечении i-той строки и j-того столбца. В соответствии с этим принято следующее компактное обозначение для матрицы размера : или просто: A = (aij), если нужно просто указать обозначение для элементов матрицы. Иногда, вместо aij, пишут ai,j, чтобы отделить индексы друг от друга и избежать смешения с произведением двух чисел. Если необходимо дать развёрнутое представление матрицы в виде таблицы, то используют запись вида Можно встретить как обозначения с круглыми скобками «(…)», так и обозначения с квадратными скобками «[…]». Реже можно встретить обозначения с двойными прямыми линиями "||…||"). Поскольку матрица состоит из строк и столбцов, для них используются следующие обозначения:  — это i-тая строка матрицы A, а  — это j-тый столбец матрицы A. Таким образом, матрица обладает свойственным представлением — по столбцам: и по строкам: . Такое представление позволяет формулировать свойства матриц в терминах строк или в терминах столбцов. править Транспонированная матрица С каждой матрицей A = (aij) размера связана матрица B = (bij) размера вида Такая матрица называется транспонированной матрицей для A и обозначается так AT. Транспонированную матрицу можно получить, поменяв строки и столбцы матрицы местами. Матрица A = (aij) размера при этом преобразовании станет матрицей размерностью . править Вектор-строка и вектор-столбец Матрицы размера и являются элементами пространств и соответственно: матрица размера называется вектор-столбцом и имеет специальное обозначение: матрица размера называется вектор-строкой и имеет специальное обозначение: править Операции над матрицами Умножение матрицы на число Умножение матрицы A на число λ (обозначение: λA) заключается в построении матрицы B, элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы A на это число, то есть каждый элемент матрицы B равен Сложение матриц Сложение матриц A + B есть операция нахождения матрицы C, все элементы которой равны попарной сумме всех соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен Умножение матриц Умножение матриц (обозначение: AB, реже со знаком умножения ) — есть операция вычисления матрицы C, элементы которой равны сумме произведений элементов в соответствующей строке первого множителя и столбце второго. Количество столбцов в матрице A должно совпадать с количеством строк в матрице B. Если матрица A имеет размерность , B — , то размерность их произведения AB = C есть . Комплексное сопряжение Если элементами матрицы A = (aij) являются комплексные числа, то комплексно сопряжённая (не путать с эрмитово сопряжённой! см. далее) матрица равна . Здесь  — число, комплексно сопряжённое к a. Транспонирование и эрмитово сопряжение Транспонирование уже обсуждалось выше: если A = (aij), то AT = (aji). Для комплексных матриц более употребительно эрмитово сопряжение: . С точки зрения операторного взгляда на матрицы, транспонированная и эрмитово сопряжённая матрица — это матрицы оператора, сопряжённого относительно скалярного или эрмитова произведения, соответственно. Взятие определителя или перманента Основная статья: Определитель Основная статья: Перманент править Связанные понятия править Линейные комбинации В векторном пространстве линейной комбинацией векторов называется вектор где  — коэффициенты разложения: если все коэффициенты равны нулю, то такая комбинация называется тривиальной, если же хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то такая комбинация называется нетривиальной. Это позволяет описать произведение C = AB матриц A и B терминах линейных комбинаций: столбцы матрицы C — это линейные комбинации столбцов матрицы A с коэффициентами, взятыми из матрицы B; строки матрицы C — это линейные комбинации строк матрицы B с коэффициентами, взятыми из матрицы A. править Линейная зависимость Если какой-либо вектор можно представить в виде линейной комбинации, то говорят о линейной зависимости данного вектора от элементов комбинации. Точнее, говорят так: некоторая совокупность элементов векторного пространства называется линейно зависимой, если существует равная нулю линейная комбинация элементов данной совокупности или где не все числа равны нулю; если такой нетривиальной комбинации не существует, то данная совокупность векторов называется линейно независимой. Линейная зависимость векторов означает, что какой-то вектор заданной совокупности линейно выражается через остальные векторы. Каждая матрица представляет собой совокупность векторов (одного и того же пространства). Две такие матрицы — две совокупности. Если каждый вектор одной совокупности линейно выражается через векторы другой совокупности, то на языке теории матриц этот факт описывается при помощи произведения матриц: если строки матрицы C линейно зависят от строк матрицы B, то C = AB для некоторой матрицы A; если столбцы матрицы C линейно зависят от столбцов другой матрицы A, то C = AB для некоторой матрицы B. править Ранг матрицы Количество линейно независимых строк матрицы называют строчным рангом матрицы, а количество линейно независимых столбцов матрицы называют столбцовым рангом матрицы. В действительности, оба ранга совпадают. Их общее значение и называется рангом матрицы. Другой эквивалентный данному подход заключается в определении ранга матрицы, как максимального порядка отличного от нуля минора матрицы. править Свойства править Матричные операции Сложение и вычитание допускается только для матриц одинакового размера. Существует нулевая матрица Θ такая, что её прибавление к другой матрице A не изменяет A, то есть A + Θ = A Все элементы нулевой матрицы равны нулю. Возводить в степень можно только квадратные матрицы. Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C. Коммутативность сложения: A + B = B + A. Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C. Вообще говоря, умножение матриц некоммутативно: . Используя это свойство, вводят коммутатор матриц. Дистрибутивность умножения относительно сложения: A(B + C) = AB + AC; (B + C)A = BA + CA. С учётом упомянутых выше свойств, матрицы образуют кольцо относительно операций сложения и умножения. Свойства операции транспонирования матриц: (AT)T = A (AB)T = BTAT (A − 1)T = (AT) − 1, если обратная матрица A - 1 существует. (A + B)T = AT + BT detA = detAT править Примеры Основная статья: Список матриц править Матрица как запись коэффициентов системы линейных уравнений Систему из m уравнений с n неизвестными можно представить в матричном виде и тогда всю систему можно записать так: AX = B, где A имеет смысл таблицы коэффициентов aij системы уравнений. Если m = n и матрица A невырожденная, то решение этого уравнения состоит в нахождении обратной матрицы A - 1, поскольку умножив обе части уравнения на эту матрицу слева A - 1AX = A - 1B A − 1A — превращается в E (единичную матрицу). И это даёт возможность получить столбец корней уравнений X = A - 1B. Все правила, по которым проводятся операции над матрицами, выводятся из операций над системами уравнений. править Квадратная матрица и смежные определения Если количество строк матрицы равно количеству столбцов, то такая матрица называется квадратной. Для квадратных матриц существует единичная матрица E (аналог единицы для операции умножения чисел) такая, что умножение любой матрицы на неё не влияет на результат, а именно EA = AE = A У единичной матрицы единицы стоят только по главной диагонали, остальные элементы равны нулю Для некоторых квадратных матриц можно найти так называемую обратную матрицу. Обратная матрица A - 1 такова, что если умножить матрицу на неё, то получится единичная матрица: AA − 1 = E Обратная матрица существует не всегда. Матрицы, для которых обратная существует, называются невырожденными (или регулярными), а для которых нет — вырожденными (или сингулярными). Матрица невырождена, если все ее строки (столбцы) линейно независимы как векторы. Максимальное число линейно независимых строк (столбцов) называется рангом матрицы. Определителем (детерминантом) матрицы называется значение нормированной кососимметрической (антисимметрической) полилинейной формы валентности на столбцах матрицы. Квадратная матрица над числовым полем вырождена тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю. править Элементарные преобразования матриц Основная статья: Элементарные преобразования матрицы Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования: Умножение строки на число отличное от нуля, Прибавление одной строки, умноженной на число, к другой строке, Перестановка местами двух строк. Элементарные преобразование столбцов матрицы определяются аналогично. При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. править Матрица линейного оператора Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы. Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе. Выберем базис . Пусть  — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису: , где xk — координаты вектора в выбранном базисе. Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам. Пусть  — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим . Вектора также разложим в выбранном базисе, получим , где  — j-я координата k-го вектора из . Подставим разложение в предыдущую формулу, получим . Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец xk даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.  Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным. править См. также Норма матрицы Определитель матрицы Массив — тип данных в программировании, соответствующий матрице (многомерность достигается вложенными массивами). Разрежённый массив — компьютерная форма представления матриц со множеством нулей. Линейные матричные неравенства — аппарат для решения задач синтеза законов управления. Лямбда-матрица Жорданова нормальная форма править Примечания ↑ Даан-Дальмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты. Очерки по истории математики: Пер. с франц. — М.: Мир, 1986. — С. 397. править Литература Дж. Голуб, Ч.Ван Лоун Матричные вычисления. — М.: Мир, 1999. Беллман Р. Введение в теорию матриц. — М.: Мир, 1969 (djvu). Гантмахер Ф. Р. Теория матриц (2-е издание). — М.: Наука, 1966 (djvu). Ланкастер П. Теория матриц. — М.: Наука, 1973 (djvu). Соколов Н. П. Пространственные матрицы и их приложения. — М.: ГИФМЛ, 1960 (djvu). Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с. п·о·р Матрицы Простой структуры Нулевая • Единичная • Диагональная Треугольные Треугольная • Нижнетреугольная • Верхнетреугольная • Унитреугольная По алгебраическим свойствам Симметричность: Симметричная • Кососимметрическая Перестановочность: Коммутирующие матрицы • Антиперестановочная Обратимость: Вырожденная • Невырожденная