Дели́мость — одно из основных понятий арифметики и теории чисел, связанное с операцией деления. С точки зрения теории множеств, делимость целых чисел является отношением, определённым на множестве целых чисел. Содержание 1 Определение 1.1 Обозначения 2 Связанные определения 3 Свойства 4 Число делителей 5 Обобщения 6 См. также 7 Ссылки 8 Литература править Определение Если для некоторого целого числа a и целого числа b существует такое целое число q, что bq = a, то говорят, что число a делится нацело на b или, что b делит a. При этом число b называется делителем числа a, делимое a будет кратным числа b, а число q называется частным от деления a на b. Хотя свойство делимости определено на всём множестве целых чисел, обычно рассматривается лишь делимость натуральных чисел. В частности, функция количества делителей натурального числа подсчитывает лишь его положительные делители. править Обозначения означает, что a делится на b b | a или b \ a означает, что b делит a, или, что то же самое: b — делитель a. править Связанные определения У каждого натурального числа, большего единицы, имеются по крайней мере два натуральных делителя: единица и само это число. При этом натуральные числа, имеющие ровно два делителя, называются простыми, а имеющие больше двух делителей — составными. Единица имеет ровно один делитель и не является ни простым, ни составным. У каждого натурального числа, большего 1, есть хотя бы один простой делитель. Собственным делителем числа называется всякий его делитель, отличный от самого числа. У простых чисел существует ровно один собственный делитель — единица. Вне зависимости от делимости целого числа a на целое число , число a всегда можно разделить на b с остатком, то есть представить в виде: где . В этом соотношении число q называется неполным частным, а число r — остатком от деления a на b. Как частное, так и остаток определяются однозначно. Число a делится нацело на b тогда и только тогда, когда остаток от деления a на b равен нулю. Всякое число, делящее как a, так и b, называется их общим делителем; максимальное из таких чисел называется наибольшим общим делителем. У всякой пары целых чисел есть по крайней мере два общих делителя: +1 и -1. Если других общих делителей нет, то эти числа называются взаимно простыми. Два целых числа a и b называются равноделимыми на целое число m, если либо и a, и b делится на m, либо ни a, ни b не делится на него. править Свойства Замечание: во всех формулах этого раздела предполагается, что — целые числа. Любое целое число является делителем нуля, и частное равно нулю : Любое целое число делится на единицу: На ноль делится только ноль: , причём частное в этом случае не определено. Единица делится только на единицу: Для любого целого числа найдётся такое целое число для которого Если и то Отсюда же следует, что если и то Для того чтобы необходимо и достаточно, чтобы Если то Свойство делимости является отношением нестрогого порядка и, в частности, оно: рефлексивно, т.е. любое целое число делится на себя же: транзитивно, т.е. если и то антисимметрично, т.е. если и то либо либо править Число делителей Основная статья: Число делителей Число положительных делителей натурального числа n обычно обозначается τ(n), является мультипликативной функцией, для неё верна асимптотическая формула Дирихле: в которой γ — постоянная Эйлера — Маскерони, а для θ Дирихле получил значение Этот результат многократно улучшался, и в настоящее время наилучший известный результат (получен в 2003 году Хаксли). Однако, наименьшее значение θ, при котором эта формула останется верной, неизвестен (доказано, что он не меньше, чем ).[1][2][3] править Обобщения Понятие делимости обобщается на произвольные кольца, например кольцо многочленов. править См. также Деление с остатком Признаки делимости Модульная арифметика Деление (математика) Конгруэнтность (алгебра) Сравнение по модулю Кольцо (математика) Факторизация править Ссылки ↑ А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. ↑ Аналитическая теория чисел ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. править Литература Виноградов И. М. Основы теории чисел. М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952, 180 с. Воробьев Н. Н. Признаки делимости. — 4-е изд. — М.: Наука, 1988. — Т. 38. — 94 с. — (Популярные лекции по математике). — ISBN 5-02-013731-6